一个计算万年历的简单程序

作  者：李  庚

通常我们只知道生活当天的前后几天是星期几，即便是翻日历，也只能知道有限日期的星期数。那么有没有一种方法可以让我们知道任何一天是星期几呢？有，下面我将向大家介绍一种方法，用以编写万年历的程序。

首先我们必须约定一些法则，我们用Y、M、D分别表示年、月、日，用数字0－6分别表示星期日－星期六，这样我们就可以开始推导我们的公式了。

我们知道2002年9月1号为星期日，如果我们要想知道2002年9月10号为星期几，可以这样算：（0+（10-1））％7＝（0+9）％7＝2，即星期二。同样可算得2002年9月20号为：（0+（20-1））％7＝（0+19）％7＝5，即星期五。但是这样算需要把日期减1，不太方便，为了解决这个问题，我们可以假设每个月有一个0号，由于2002年9月1号为星期日，那么2002年9月0号为星期六，这样算9月10号，只需代入10既（6+10）％7＝2。事实上，9月0号也就是8月31号，每个月0号的星期数实际上就是每个月1号的前一天的星期数。我把这个星期数称之为每个月的代码。有了这个代码，要算这个月任一天的星期数都好办了。

以上讨论的是一年中每个月的代码，事实上对于每年也有一个代码，这个代码就是每年1月0号（即1月1号的前一天）的星期数，也就是一月份的代码。如果我们能够找到每年的代码之间的关系，那么要计算万年历就易如反掌了。

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（一）推算年的代码公式

我们都知道，平年一年有365天，即52周多1天。闰年为366天即52周多2天。我们先只考虑平年的情况。

假设第N年的代码为W，则第N+1年的代码为（W+1）％7，而第N+K年的代码则为（W+K）%7。这是因为从第N年到第N+K年共经过了K年，每过一年也就是过了52周余1天，经过K年也就是过了52*K周余K天，将多余的天数K加上第N年的代码W再对7取模，所得也就是第N+K年的代码了。

下面我们把闰年也考虑进来。判断闰年的规则是，能被4整除，并能被100和400同时整除的年份就是闰年。所以从第N年到第N+K年间共有K/4       -K/100+K/400个闰年，而每个闰年有52周余2天，要比平年多余了1天，即共多余了K/4-K/100+K/400天。我们应该把这些天也加进去，所以第N+K年的代码应为（W+K+K/4-K/100+K/400）%7。

这样子是不是就考虑完全了呢？并非如此，我们还有两点没考虑到。第一点是第N年是不是闰年。如果第N年是闰年的话，它本身就是52周余2天，而我们在上面却是把它当作平年来计算的，少算了1天，应加上。所以在第N年为闰年的时候上式应为（W+(K+1)+K/4-K/100+K/400）%7。第二点是第N+K年是不是闰年。如果第N+K年是闰年，虽然它有52周余2天，但只有在算第N+(K+1)年的时候，才需要多加它那一天，而在算第N+K年的时候不需要多加这1天，因此我们必须将上式改为（W+(K+1)+(K-1)/4-(K-1)/100+(K-1)/400）%7（注意千万不能改为（W+(K+1)+(K/4-K/100+K/400-1)）%7=(W+K+K/4-K/100+K/400)%7）。

由此我们可以得出当第N年为闰年时，第N+K年的代码计算式为：

A=(W+(K+1)+(K-1)/4-(K-1)/100+(K-1)/400)%7

为了方便计算，我们可以取N为0，也就是假设公元元年的代码为W。因为公元元年也是闰年，符合上式，那么当我们输入的年份为Y时，此时就有K=Y，也就是说第Y年的代码为

A=(W+(Y+1)+(Y-1)/4-(Y-1)/100+(Y-1)/400)%7

接下来的问题就是W究竟是一个什么数了，下面我们就来解决这个问题。

我们已经知道2002年1月1号为星期二，它的前一天为星期一，那也就是说2002年的代码就是1，由此我们可得

(W+(2002+1)+(2002-1)/4-(2002-1)/100+(2002-1)/400)%7=1

即

(W+2488)%7=1

(W+3)%7=1

这样我们就可求得W=5。我们的公式就变成了如下形式

A=(5+(Y+1)+(Y-1)/4-(Y-1)/100+(Y-1)/400)%7

有了这个公式，我们就可以算公元后任意一年的代码了，但还不能算公元前的，我们还需要再改进一下，得出公式（1）：

（1）A_year= Y>0 ? (5+(Y+1)+(Y-1)/4-(Y-1)/100+(Y-1)/400)%7

: (5 + Y + Y/4 - Y/100 + Y/400) % 7

这样就OK了。不过这又导致了另一个问题：Y<0时，算得的A有可能小于0。这个问题我们暂且留下，待会再解决。

（二）推算月的代码公式

年的问题解决了，月怎么办呢？请看下表：

表中的A为当年的代码。由这个表我们可以看出，月与月之间也有一定的关系。由此我们可以推出下面的公式（2）：

（2）A_month=M>2 ? (A_year+2*(M+1)+3*(M+1)/5)%7

      : (A_year+2*(M+2)+3*(M+2)/5)%7

但是上表所反映的仅为平年的情况，若Y为闰年，则在M大于2时，每个月的代码还需再加1。这可用一个IF语句解决：

（3）if (((Y%4==0 && Y%100!==0) (Y%400==0)) && M > 2)

 A_month = (A_month+1)%7;

现在我们回到公式（1）中的问题。如果Y<0时，使得A_year<0，那么A_year最小也只能到-6。大家可以看到，当我们将A_year代入公式（2）时，问题就自然解决了。

（三）计算日期

有了上面的公式，当我们输入日期后，就很容易算出当天为星期几了，而且可以计算变量允许范围内的任意一天的星期数。

（4）A = (A_month+D)%7

（四）写程序

下面给出该万年历的程序，约莫估计，它可从公元前数十亿年算到公元后数十亿年（即从负十位数到正十位数），而且无一错漏。

（程序中并没有对输入的月份和日期进行出错处理）

#include <stdio.h>

char *week[] = {"Sunday",

                "Monday",

                            "Tuesday",

                            "Wednesday",

                            "Thursday",

                            "Friday",

                            "Saturday"};

void main()

{

       int Y;

       int M;

       int D;

       int A;

       printf("\nEnter year:");

       scanf("%d",&Y);

       printf("\nEnter month:");

       scanf("%d",&M);

       printf("\nEnter date:");

       scanf("%d",&D);

       //下面的四条语句用来计算输入日期的星期数，是程序的核心部分，缺一不可

       A = Y > 0 ? (5 + (Y + 1) + (Y - 1)/4 - (Y - 1)/100 + (Y - 1)/400) % 7

              : (5 + Y + Y/4 - Y/100 + Y/400) % 7;

       A = M > 2 ? (A + 2*(M + 1) + 3*(M + 1)/5) % 7

              : (A + 2*(M + 2) + 3*(M + 2)/5) % 7;

       if (((Y%4 == 0 && Y%100 != 0) Y%400 == 0) && M>2)

       {

              A = (A + 1) % 7;

       }

       A = (A + D) % 7;

       printf("\nI's a %s.\n\n",week[A]);

}

（附：此文作于2002年9月，曾寄给《程序员》杂志社，不过一直未得回音。此次发表于次，望各位大虾多提意见！）